¿Cómo hallar la ecuación de una parábola?

Entender los conceptos matemáticos a veces puede ser complicado. Si bien es cierto que hay algunos temas que resultan más llevaderos, otros pueden resultar difíciles de entender a primera vista. La parábola no es una excepción. Sin embargo, con un poco de dedicación, es posible entender cómo funciona una parábola y su ecuación.

¿Qué es una parábola?

Antes de hablar sobre la ecuación de una parábola, es importante entender qué es una parábola en primer lugar. En geometría, una parábola es una curva en forma de U que se origina a partir de un plano cortado por un cono en un ángulo determinado. Una parábola tiene un punto de inicio llamado foco, y una línea llamada directriz. Es importante tener esto en cuenta ya que estos dos elementos serán fundamentales para comprender cómo hallar la ecuación de una parábola.

¿Cómo hallar la ecuación de una parábola?

Como se mencionó anteriormente, el foco y la directriz son fundamentales a la hora de hallar la ecuación de una parábola. La ecuación general de una parábola es:

y2 = 4px

Donde p es la distancia desde el vértice de la parábola hasta el foco, y la distancia del vértice a la directriz también es de p. Así que si conocemos las coordenadas del vértice y las de un punto en la parábola, podemos deducir la ecuación de la parábola.

Ejemplo:

Suponga que encontramos la ecuación de la parábola con vértice en el punto (2,1) y que pasa por el punto (4,5). En primer lugar, necesitamos encontrar la distancia entre el vértice y el punto (4,5).

  • Distancia entre el vértice y el punto:(x2 – x1)2 + (y2 – y1)2

    (4 – 2)2 + (5 – 1)2


    8 + 16

    4 √5
  • Encontrar la distancia entre el vértice y la directriz: Debido a que la directriz está por encima del vértice, la distancia es igual a la distancia entre el vértice y el punto opuesto en el eje y. En este caso, esa distancia es igual a 2.
  • Sustituir los valores en la fórmula: Ahora que conocemos el valor de p y las coordenadas del vértice, podemos sustituir los valores en la fórmula de la parábola.

    y2 = 4px

    (5-1)2 = 4 * 2 * (4-x)

    Resolver para x:

    x = 3

    Entonces la ecuación de la parábola es:

    y2 = 4 * 2 * (4 – 3)

    y2 = 8

FAQs

1. ¿Cómo identifico la orientación de una parábola?

La orientación de una parábola está determinada por el signo del coeficiente de x en la ecuación de la parábola. Si x tiene un coeficiente positivo, la parábola se abrirá hacia la derecha. Si x tiene un coeficiente negativo, la parábola se abrirá hacia la izquierda.

2. ¿Cuál es la diferencia entre el foco y la directriz?

El foco es un punto fijo que se encuentra en la parábola, mientras que la directriz es una línea recta que se encuentra fuera de la parábola. La distancia entre el foco y la directriz es igual en todas partes de la parábola.

3. ¿Pueden las parábolas tener un vértice en el eje y?

Sí, pueden tener un vértice en el eje y. De hecho, si la parábola está orientada hacia arriba o hacia abajo, el vértice estará en el eje y.

4. ¿Qué es el eje de simetría de una parábola?

El eje de simetría de una parábola es una línea recta que pasa por su vértice y divide la parábola en dos mitades iguales.

Hallar la ecuación de una parábola puede ser complicado, pero con práctica y dedicación, se puede entender y aplicar correctamente. La clave está en entender los conceptos básicos de la parábola, como el foco, la directriz y el vértice, y saber cómo usar las fórmulas adecuadas. Con esta información, cualquier persona puede estar en capacidad de hallar la ecuación de una parábola con facilidad.

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