¿Cuándo una sucesión es convergente o divergente?

Una sucesión a(n) es convergente cuando tiene límite finito. Si no existe el límite de la sucesión a(n) o es infinito, se dice que la sucesión no converge. Por el contrario, si una sucesión tiende a infinito, se dice que es divergente.

¿Cómo saber si una sucesión es convergente o divergente?

Existen algunas formas de identificar si una sucesión es convergente o divergente:

  • Si dos sucesiones son convergentes, siendo la segunda de ellas sin ningún término nulo y límite ≠ 0, entonces el cociente de la primera entre la segunda tiene límite, que es igual al cociente del límite de la primera entre el límite de la segunda sucesión.
  • Si una sucesión es monótona y acotada, entonces converge.
  • Si la sucesión tiende a un número finito, entonces converge a ese número.

¿Cómo saber si una sucesión es divergente?

No existe una fórmula general para determinar si una sucesión es divergente, pero se puede afirmar que si una sucesión no converge, es divergente. Además, si los términos de una sucesión se hacen cada vez más grandes sin límite, entonces se dice que es divergente.

Una excepción a esta regla es la serie armónica. A pesar de que los términos de la serie armónica tienden a cero, la misma es divergente.

¿Qué son sucesiones acotadas y convergentes?

Una sucesión está acotada si existe un número real M tal que |a(n)| < M para todo n en N. Toda sucesión convergente está acotada.

En general, una sucesión es convergente si sus términos se acercan cada vez más a un número real fijo. Es decir, si una sucesión converge, converge a un único punto.

Preguntas frecuentes sobre convergencia y divergencia de sucesiones

¿Puede una sucesión ser convergente y divergente al mismo tiempo?

No, una sucesión no puede ser convergente y divergente al mismo tiempo. La definición de sucesión convergente y sucesión divergente son mutuamente excluyentes.

¿Qué pasa si una sucesión no tiene un límite?

Si una sucesión no tiene un límite, se dice que es divergente. Una sucesión divergente se puede definir como aquella en la que los términos crecen o decrecen sin límite.

¿Qué sucede cuando una sucesión es monótona y no está acotada?

Si una sucesión es monótona y no está acotada, entonces es divergente. En general, si una sucesión no está acotada, podemos deducir que no existe un límite finito.

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