Cuando se estudia geometría, es común encontrarse con distintos términos y conceptos que pueden resultar confusos. Uno de estos términos son las rectas secantes, tangentes y exteriores a una circunferencia. En este artículo, explicaremos detalladamente cada uno de estos términos y su relación con una circunferencia.
Recta exterior a una circunferencia
Cuando una recta y una circunferencia no tienen ningún punto en común, se dice que la recta es exterior a la circunferencia. Es decir, la recta no cruza o intersecta la circunferencia en ningún punto.
Recta tangente a una circunferencia
Una recta tangente a una circunferencia es una recta que tiene un punto de contacto con la circunferencia sin cruzarla. Este punto de contacto se llama punto de tangencia y es único para cada recta tangente. La recta tangente es perpendicular al radio que une el centro de la circunferencia con el punto de tangencia.
Características de la recta tangente
- La recta tangente toca la curva en un solo punto.
- En el punto de tangencia, la recta tangente es perpendicular al radio que une el centro de la circunferencia con el punto de tangencia.
- La pendiente de la recta tangente en el punto de tangencia es igual a la derivada de la función en ese punto.
Recta secante a una circunferencia
Una recta secante a una circunferencia es una recta que corta la circunferencia en dos puntos distintos llamados puntos de intersección.
Características de la recta secante
- La recta secante corta la curva en dos puntos distintos.
- La pendiente de la recta secante es igual al cociente entre la diferencia de las ordenadas y la diferencia de las abscisas de los puntos de intersección.
Relación entre las rectas secantes y tangentes
Las rectas secantes y tangentes tienen una relación importante en geometría. Cuando una recta secante corta una circunferencia, se forman dos ángulos en cada punto de intersección. Cuando la recta secante se acerca a los puntos de intersección y la distancia entre ellos se reduce a cero, la recta se llama recta tangente y los ángulos se convierten en uno solo.
Generalización a funciones
En matemáticas, también se habla de rectas secantes y tangentes a una función. En este caso, la recta secante es cualquier recta que corte a la curva en dos puntos. La recta tangente, por otro lado, es una recta que toca la curva en un solo punto, llamado punto de tangencia.
Preguntas frecuentes
¿Cómo se calcula la pendiente de una recta secante?
La pendiente de una recta secante se calcula dividiendo la diferencia entre las ordenadas de los puntos de intersección entre la recta y la curva entre la diferencia de las abscisas. Es decir, si tenemos dos puntos de intersección (x1,y1) y (x2,y2), la pendiente de la recta secante es (y2-y1)/(x2-x1).
¿Cómo se calcula la pendiente de una recta tangente?
Para calcular la pendiente de una recta tangente, es necesario conocer la derivada de la función en el punto de tangencia. La pendiente de la recta tangente es igual a la derivada de la función en el punto de tangencia.
¿Cómo se encuentra el punto de tangencia?
El punto de tangencia se encuentra resolviendo el sistema de ecuaciones formado por la función y la ecuación de la recta tangente. Este punto de tangencia es el punto en el que la recta tangente toca la curva.
¿Cómo se relacionan las rectas secantes y tangentes en la geometría analítica?
En la geometría analítica, las rectas secantes y tangentes se pueden expresar mediante ecuaciones. La ecuación de la recta secante que corta a una curva en dos puntos es una ecuación de segundo grado. La ecuación de la recta tangente a una curva es una ecuación de primer grado y se encuentra utilizando la derivada de la función.