Los números complejos son un concepto matemático que se utiliza para representar cantidades que involucran una parte real y una parte imaginaria. Una de sus características más importantes es su módulo, que indica su tamaño o magnitud en el plano complejo. En este artículo, explicaremos qué es el módulo de un número complejo y cómo se determina.
¿Qué es el módulo de un número complejo?
El módulo de un número complejo z se denota como |z| y se define como la distancia entre el número complejo y el origen de coordenadas en el plano complejo. En palabras más simples, el módulo de un número complejo mide su tamaño o magnitud.
¿Cómo se determina el módulo de un número complejo?
Para determinar el módulo de un número complejo z = a + bi, donde a y b son la parte real y la parte imaginaria respectivamente, se utiliza la siguiente fórmula:
Es decir, se eleva al cuadrado la parte real y la parte imaginaria del número complejo, se suman los resultados y se hace la raíz cuadrada del resultado de la suma.
¿Cuál es la importancia del módulo de un número complejo?
El módulo de un número complejo es importante porque permite definir una medida de distancia en el plano complejo. Al igual que la distancia euclidiana en el plano cartesiano, el módulo de un número complejo cumple con las propiedades necesarias para ser considerado una distancia.
Cálculo del módulo de un número complejo
El cálculo del módulo de un número complejo se basa en la fórmula mencionada anteriormente. Veamos algunos ejemplos:
Ejemplo 1:
Calcular el módulo del número complejo z = 3 + 4i.
Solución:
|z| = √(3^2 + 4^2) = √(9 + 16) = √25 = 5
Por lo tanto, el módulo del número complejo z es 5.
Ejemplo 2:
Calcular el módulo del número complejo z = -2 – 5i.
Solución:
|z| = √((-2)^2 + (-5)^2) = √(4 + 25) = √29
Por lo tanto, el módulo del número complejo z es √29.
Preguntas frecuentes
¿El módulo de un número complejo puede ser negativo?
No, el módulo de un número complejo es siempre un número real positivo.
¿El módulo de un número complejo es lo mismo que su argumento?
No, el argumento de un número complejo es el ángulo que forma el número complejo con el eje real en el plano complejo, mientras que el módulo es su magnitud o tamaño.
¿Cómo se relaciona el módulo de un número complejo con su conjugado?
El módulo de un número complejo es igual al módulo de su conjugado. Es decir, si z = a + bi, entonces |z| = |a – bi|.
¿Qué propiedades tiene el módulo de un número complejo?
El módulo de un número complejo cumple con las siguientes propiedades:
- |z| ≥ 0 para todo número complejo z
- |z1z2| = |z1||z2| para todo número complejo z1 y z2
- |z1 + z2| ≤ |z1| + |z2| para todo número complejo z1 y z2
- |z1 – z2| ≥ | |z1| – |z2| | para todo número complejo z1 y z2
El módulo de un número complejo es una medida de su tamaño o magnitud en el plano complejo. Se calcula a partir de la parte real y la parte imaginaria de un número complejo utilizando la fórmula |z| = √(a^2 + b^2). El módulo tiene propiedades similares a las de la distancia euclidiana en el plano cartesiano y es esencial para definir una medida de distancia en el plano complejo.